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<!DOCTYPE html>

<title>Distributivité</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Distributivité</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, plus précisément en <a href="Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique">arithmétique</a> et en <a href="Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>, la <b>distributivité</b> d'une <a href="Op%C3%A9ration_binaire" title="Opération binaire">opération</a> par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « <i>le produit d'une somme est égal à la somme des produits</i> ».

</p><p>Par exemple, dans l'<a href="Expression_(math%C3%A9matiques)" title="Expression (mathématiques)">expression</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times (5+3)=(2\times 5)+(2\times 3)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times (5+3)=(2\times 5)+(2\times 3)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cdc38adcb8c7646ecb8fac04245c1b816c7304d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\times (5+3)=(2\times 5)+(2\times 3)}" loading="lazy"></span>, le facteur 2 est distribué<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche <span class="texhtml">2 × 8 = 16</span>, à droite <span class="texhtml">10 + 6 = 16</span>.

</p><p>Cette propriété est vraie pour tout <a href="N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet">triplet</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}" loading="lazy"></span> d'<a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a>, d'<a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">entiers relatifs</a>, de <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a>, de <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> ou de <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a> :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e43732917cdcb7e8082d91b7605cc5d1dcca46d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>On parle alors de <b>distributivité de la <a href="Multiplication" title="Multiplication">multiplication</a> par rapport à l'<a href="Addition" title="Addition">addition</a></b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>En <a href="Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>, la distributivité est généralisée à d'autres opérations que l'addition et la multiplication. Une <a href="Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">loi de composition interne</a> ∘ est distributive par rapport à une autre loi interne ∗ dans un ensemble <i>E</i> si pour tout triplet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}" loading="lazy"></span> d'éléments de <i>E</i>, on a les propriétés suivantes<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\circ (y\ast z)=(x\circ y)\ast (x\circ z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c92480053b8a727c0c1cae0bcba22932b84c116.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\circ (y\ast z)=(x\circ y)\ast (x\circ z)}" loading="lazy"></span>   (<b>distributivité à gauche</b>)</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x\ast y)\circ z=(x\circ z)\ast (y\circ z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1a527c86e0a8e2c9ca7f14f226c3c12c1e67c2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.735ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x\ast y)\circ z=(x\circ z)\ast (y\circ z)}" loading="lazy"></span>   (<b>distributivité à droite</b>)</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Distributivité_en_arithmétique"><span id="Distributivit.C3.A9_en_arithm.C3.A9tique"></span>Distributivité en arithmétique</h2></div>

<p>En arithmétique, les deux opérations considérées lorsqu'on parle de distributivité sont l'addition et la multiplication. La multiplication est distributive par rapport à l'addition :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e43732917cdcb7e8082d91b7605cc5d1dcca46d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mais l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication : sauf cas spéciaux (comme <span class="texhtml"><i>x</i> = 0</span>), en général,

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(y\times z)\neq (x+y)\times (x+z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3311b744608349af20d67b758b841915f4bb561.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x+(y\times z)\neq (x+y)\times (x+z)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Distributivité_en_calcul_élémentaire"><span id="Distributivit.C3.A9_en_calcul_.C3.A9l.C3.A9mentaire"></span>Distributivité en calcul élémentaire</h3></div>

<p>Si les facteurs d'un produit sont des sommes, on peut effectuer les produits terme à terme puis effectuer la somme. Cette propriété est souvent utilisée, en <a href="Calcul_mental" title="Calcul mental">calcul mental</a> ou en <a href="Informatique" title="Informatique">informatique</a>, pour <a href="Algorithme_de_multiplication" class="mw-redirect" title="Algorithme de multiplication">calculer un produit d'entiers de façon efficace</a>.

</p>

<dl><dt>Exemple 1</dt>

<p>De même, la multiplication par les <a href="Nombre_uniforme" title="Nombre uniforme">nombres uniformes</a> 9, 99, 999, etc. se ramène à une <a href="Soustraction" title="Soustraction">soustraction</a> en utilisant la distributivité.

</p>

<dl><dt>Exemple 2</dt>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Distributivité_à_droite_et_à_gauche"><span id="Distributivit.C3.A9_.C3.A0_droite_et_.C3.A0_gauche"></span>Distributivité à droite et à gauche</h3></div>

<p>Pour les <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a>, les <a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">entiers relatifs</a>, les <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a>, les <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> ou les <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a>, l'addition et la multiplication sont des opérations <a href="Loi_commutative" title="Loi commutative">commutatives</a>. On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l'addition, sans préciser <span class="nowrap">« à gauche</span> » ou <span class="nowrap">« à droite »</span>, car la distributivité à gauche implique la distributivité à droite (et réciproquement) du fait de la commutativité du produit.

</p>

<div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Preuve</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)\Leftrightarrow (y+z)\times x=(x\times y)+(x\times z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8fe4c7687dd86c5fe3d802d898071c97eb05d68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:66.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)\Leftrightarrow (y+z)\times x=(x\times y)+(x\times z)}" loading="lazy"></span> (par commutativité de la multiplication dans le membre de gauche)</dd>

<dd><span class="texhtml">⇔ (<i>y</i> + <i>z</i>) × <i>x</i> = (<i>y</i> × <i>x</i>) + (<i>x</i> × <i>z</i>)</span>   (par commutativité de la multiplication dans la <abbr class="abbr" title="Première">1<sup>re</sup></abbr> somme du membre de droite)</dd>

<dd><span class="texhtml">⇔ (<i>y</i> + <i>z</i>) × <i>x</i> = (<i>y</i> × <i>x</i>) + (<i>z</i> × <i>x</i>)</span>   (par commutativité de la multiplication dans la <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> somme du membre de droite)</dd></dl>

</div><div class="clear" style="clear:both;"></div>

</div>

<p>Par contre, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dfrac {x+y}{z}}={\dfrac {x}{z}}+{\dfrac {y}{z}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dfrac {x+y}{z}}={\dfrac {x}{z}}+{\dfrac {y}{z}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa78543b61e73be3f647947fe3ececb8c87621b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\dfrac {x+y}{z}}={\dfrac {x}{z}}+{\dfrac {y}{z}}}" loading="lazy"></span> mais <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dfrac {z}{x+y}}\neq {\dfrac {z}{x}}+{\dfrac {z}{y}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dfrac {z}{x+y}}\neq {\dfrac {z}{x}}+{\dfrac {z}{y}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ff4bc46b6834a8cc4c814c02838d58c85f3f53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\dfrac {z}{x+y}}\neq {\dfrac {z}{x}}+{\dfrac {z}{y}}}" loading="lazy"></span>

et la division sera dite seulement <i>distributive à droite</i> par rapport à l'addition.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Entiers_de_Gauss">Entiers de Gauss</h3></div>

<p>Parmi les nombres complexes, un cas intéressant est celui des <a href="Entier_de_Gauss" title="Entier de Gauss">entiers de Gauss</a>, qui s'écrivent sous la forme <span class="texhtml"><i>z</i> = <i>n</i> + <i>m</i>i</span> avec <i>n</i> et <i>m</i> entiers. On utilise la distributivité de la multiplication complexe pour montrer par exemple que (1 + i)<sup>2</sup> = 1 + 2i + i<sup>2</sup> = 2i, c'est-à-dire que 1 + i est une <a href="Racine_carr%C3%A9e" title="Racine carrée">racine carrée</a> de 2i. Plus généralement, on montre que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Distributivité_en_algèbre_générale"><span id="Distributivit.C3.A9_en_alg.C3.A8bre_g.C3.A9n.C3.A9rale"></span>Distributivité en algèbre générale</h2></div>

<p>En algèbre générale, on étudie les <a href="Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">structures algébriques</a>, c'est-à-dire des ensembles munis de <a href="Loi_de_composition" title="Loi de composition">lois de composition</a> ayant certaines propriétés. Dans ce cadre, la distributivité se généralise aux cas où :

</p>

<dl><dd><ul><li>les deux <a href="Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">lois de composition interne</a> ne sont pas obligatoirement l'addition et la multiplication ;</li>

<li>au moins une opération n'est pas commutative ;</li>

<li>la première opération est une <a href="Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">loi de composition interne</a> et la seconde opération est une <a href="Loi_de_composition_externe" class="mw-redirect" title="Loi de composition externe">loi de composition externe</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. (Ce cas n'entre strictement parlant pas dans le cadre établi dans la préambule, où les trois éléments <i>x, y, z</i> sont supposés appartenir au même ensemble. Ici ce n'est pas le cas, et dans l'une parmi la distributivité à droite et celle à gauche, les deux * correspondent à des lois différents: voir le paragraphe "espaces vectoriels" ci-après.)</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anneaux_et_corps_commutatifs">Anneaux et corps commutatifs</h3></div>

<p>La distributivité de la seconde loi de composition interne sur la première loi de composition interne est une propriété fondamentale des <a href="Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques)">anneaux</a> (et donc des <a href="Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a>) : dans un anneau <i>A</i> muni de deux lois internes notées + et ×, la loi × doit être distributive (à droite et à gauche) par rapport à +.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anneaux_ℤ/nℤ"><span id="Anneaux_.E2.84.A4.2Fn.E2.84.A4"></span>Anneaux ℤ/nℤ</h3></div>

<p>Les <a href="Anneau_%E2%84%A4/n%E2%84%A4" title="Anneau ℤ/nℤ">anneaux quotients de ℤ</a> héritent de l'addition et de la multiplication des entiers relatifs, et ces lois induites vérifient la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quaternions">Quaternions</h3></div>

<p>La distributivité de la multiplication sur la division reste valable pour les <a href="Quaternion" title="Quaternion">quaternions</a> de Hamilton, bien que la multiplication des quaternions ne soit pas <a href="Commutativit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Commutativité">commutative</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Identités_remarquables_dans_les_anneaux_non_commutatifs"><span id="Identit.C3.A9s_remarquables_dans_les_anneaux_non_commutatifs"></span>Identités remarquables dans les anneaux non commutatifs</h3></div>

<p>Certaines <a href="Identit%C3%A9_remarquable" title="Identité remarquable">identités remarquables</a> qui font intervenir la distributivité, par exemple <span class="texhtml">(<i>a</i>+<i>b</i>)<sup>2</sup> = <i>a</i><sup>2</sup> + 2<i>ab</i> + <i>b</i><sup>2</sup></span> et généralisations, utilisent également la commutativité et ne sont donc pas valides pour les anneaux non commutatifs tels que les anneaux de <a href="Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matrices</a> ou les <a href="Anneau_non_commutatif_de_polyn%C3%B4mes" title="Anneau non commutatif de polynômes">anneaux non commutatifs de polynômes</a>. Bien entendu, toute propriété résultant de la distributivité et qui ne nécessite pas la commutativité reste valable dans les anneaux non commutatifs. (Dans l'exemple en question, on aura <span class="texhtml">(<i>a</i>+<i>b</i>)<sup>2</sup> = <i>a</i><sup>2</sup> + <i>ab</i> + <i>ba</i> + <i>b</i><sup>2</sup></span> si <span class="texhtml"><i>ab</i> ≠ <i>ba</i></span> ; mais on a toujours <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\,x^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\,x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c24135c61ca156e0c6dab6521320c138f30c4e57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.893ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\,x^{k}}" loading="lazy"></span> puisque tout <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> commute avec 1 dans tout <a href="Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau unitaire</a>.)

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaces_vectoriels">Espaces vectoriels</h3></div>

<p>Dans la définition d'un <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a>, la <a href="Loi_de_composition" title="Loi de composition">multiplication externe</a> par des <a href="Scalaire_(math%C3%A9matiques)" title="Scalaire (mathématiques)">scalaires</a> est distributive par rapport à l'addition des vecteurs. Ici, on a affaire à une loi de composition externe et non interne, mais la propriété de distributivité reste valable (aussi bien celle à gauche que celle à droite, qui elle ((λ+μ)•x = λ•x + μ•x) implique deux lois d'addition différentes: d'une part celle des scalaires, d'autre part celle des vecteurs). C'est donc une notion de distributivité plus générale qui n'est pas un cas particulier de celle définie dans la préambule de cet article, où tous les éléments appartiennent au même ensemble.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ensemble_des_parties_d'un_ensemble"><span id="Ensemble_des_parties_d.27un_ensemble"></span>Ensemble des parties d'un ensemble</h3></div>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdb9a5a97c7cb3db567ed6d470b51883427bb06a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}" loading="lazy"></span> l'<a href="Ensemble_des_parties_d'un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties d'un ensemble</a> <i>E</i>. On munit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdb9a5a97c7cb3db567ed6d470b51883427bb06a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}" loading="lazy"></span> de deux lois de composition interne : la <a href="Union_(math%C3%A9matiques)" title="Union (mathématiques)">réunion</a> ⋃ et <a href="Intersection_(math%C3%A9matiques)" title="Intersection (mathématiques)">l'intersection</a> ⋂. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont distributives l'une par rapport à l'autre. Autrement dit, pour tout triplet (<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>) d'éléments de <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdb9a5a97c7cb3db567ed6d470b51883427bb06a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}" loading="lazy"></span> :

</p>

<p>La distributivité est également vérifiée si l'on considère la <a href="Diff%C3%A9rence_sym%C3%A9trique" class="mw-redirect" title="Différence symétrique">différence symétrique</a> <span class="texhtml"><i>A</i> Δ <i>B</i> := (<i>A</i> ⋃ <i>B</i>) \ (<i>A</i> ⋂ <i>B</i>)</span> au lieu de la réunion. Contrairement à la réunion, cette opération confère la structure de <a href="Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupe abélien</a>, et avec l'intersection la structure d'<a href="Anneau_de_Boole" title="Anneau de Boole">anneau de Boole</a> à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdb9a5a97c7cb3db567ed6d470b51883427bb06a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Treillis">Treillis</h3></div>

<p>Un <a href="Treillis_(ensemble_ordonn%C3%A9)" title="Treillis (ensemble ordonné)">treillis</a> est un <a href="Ordre_partiel" class="mw-redirect" title="Ordre partiel">ensemble E partiellement ordonné</a> dans lequel toute <a href="Paire" title="Paire">paire</a> {<i>x</i>, <i>y</i>} admet une <a href="Borne_sup%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne supérieure">borne supérieure</a> <i>x</i>⋁<i>y </i> et une <a href="Borne_inf%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne inférieure">borne inférieure</a> <i>x</i>⋀<i>y</i>. On dit que <i>E</i> est un <b>treillis distributif</b> si les deux lois de composition interne sont distributives l'une par rapport à l'autre. Dans ce cas, pour tout triplet (<i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>) d'éléments de E, on a :

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Articles_connexes">Articles connexes</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<ul><li><a href="Associativit%C3%A9" title="Associativité">Associativité</a></li>

<li><a href="Fran%C3%A7ois-Joseph_Servois" title="François-Joseph Servois">François-Joseph Servois</a> (le premier à employer l'adjectif « distributif » en mathématiques)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">L'application de la distributivité à l'expression sous forme de produit s'appelle <a href="D%C3%A9veloppement_(math%C3%A9matiques)" title="Développement (mathématiques)">développement</a>. L'application inverse de la propriété à une somme s'appelle factorisation ou mise en facteur commun.</span>

</li>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Queysanne 1964, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 116.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Queysanne 1964, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 122.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="Lang1976"><span class="ouvrage" id="Serge_Lang1976"><a href="Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge <span class="nom_auteur">Lang</span></a>, <cite class="italique">Structures algébriques</cite>, InterEditions, <time>1976</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Structures+alg%C3%A9briques&rft.pub=InterEditions&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.date=1976&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistributivit%C3%A9"></span></span></span>.</li></ul>

<ul><li><span class="ouvrage" id="Queysanne1964"><span class="ouvrage" id="Michel_Queysanne1964"><a href="Michel_Queysanne" title="Michel Queysanne">Michel <span class="nom_auteur">Queysanne</span></a>, <cite class="italique">Algèbre : <abbr class="abbr" title="Premier">1<sup>er</sup></abbr> cycle scientifique - préparation aux grandes écoles</cite>, Armand Colin, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « U », <time>1964</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.pub=Armand+Colin&rft.stitle=%3Cabbr+class%3D%22abbr%22+title%3D%22Premier%22%3E1%3Csup%3Eer%3C%2Fsup%3E%3C%2Fabbr%3E+cycle+scientifique+-+pr%C3%A9paration+aux+grandes+%C3%A9coles&rft.aulast=Queysanne&rft.aufirst=Michel&rft.date=1964&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistributivit%C3%A9"></span></span></span>.</li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de l’algèbre</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2024-09-25" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Distributivit%C3%A9&oldid=218921680">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>